Resolución fácil de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Introducción

En matemáticas, un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es un conjunto de tres ecuaciones algebraicas que involucran tres variables desconocidas. Resolver este tipo de sistemas es fundamental en álgebra lineal y tiene aplicaciones en diversas áreas como la física, la ingeniería y la economía. Te enseñaremos diferentes métodos para resolver sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas de manera sencilla y paso a paso.

¿Qué es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas?

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es un conjunto de tres ecuaciones algebraicas en las que se buscan los valores de tres variables desconocidas. Estas ecuaciones se representan de la siguiente manera:

Ecuación 1: a1x + b1y + c1z = d1
Ecuación 2: a2x + b2y + c2z = d2
Ecuación 3: a3x + b3y + c3z = d3

Donde x, y y z son las incógnitas que queremos determinar, y a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3 son coeficientes conocidos.

El objetivo es encontrar los valores de x, y y z que satisfagan simultáneamente las tres ecuaciones. Para ello, existen diferentes métodos de resolución.

Método de eliminación

El método de eliminación es uno de los métodos más comunes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en convertir el sistema de ecuaciones en una matriz aumentada y aplicar operaciones elementales para obtener una matriz triangular superior. A continuación, se sustituye hacia atrás para encontrar los valores de las incógnitas.

Paso 1: Convertir el sistema de ecuaciones en una matriz aumentada

Para aplicar el método de eliminación, primero debemos escribir el sistema de ecuaciones en forma de una matriz aumentada. La matriz aumentada se obtiene al colocar los coeficientes de las variables y los términos independientes en una matriz ampliada con una barra vertical separando los coeficientes de las variables de los términos independientes.

Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Ecuación 1: 2x + 3y + z = 7
Ecuación 2: x - 2y + 4z = -1
Ecuación 3: 3x + y - 2z = 3

La matriz aumentada correspondiente sería:

```
[ 2 3 1 | 7 ]
[ 1 -2 4 | -1 ]
[ 3 1 -2 | 3 ]
```

Paso 2: Aplicar eliminación para obtener una matriz triangular superior

Una vez que tenemos la matriz aumentada, aplicamos operaciones elementales para convertirla en una matriz triangular superior. Esto se logra mediante la eliminación de coeficientes debajo de la diagonal principal.

El objetivo es hacer ceros debajo de la diagonal principal. Para lograrlo, realizamos operaciones elementales como multiplicar una fila por un escalar y sumar o restar filas entre sí.

Continuando con el ejemplo anterior, aplicamos operaciones elementales para obtener una matriz triangular superior:

```
[ 2 3 1 | 7 ]
[ 0 -7 3 | -9 ]
[ 0 0 -7 | -10 ]
```

Paso 3: Sustituir hacia atrás para encontrar los valores de las incógnitas

Una vez que tenemos la matriz triangular superior, podemos resolver fácilmente el sistema sustituyendo hacia atrás. Empezamos por la última ecuación y despejamos la última incógnita. Luego, sustituimos este valor en la ecuación anterior y así sucesivamente hasta obtener los valores de todas las incógnitas.

Continuando con el ejemplo anterior, resolvemos el sistema sustituyendo hacia atrás:

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Ecuación 3: -7z = -10
z = -10 / -7
z = 10/7

Ecuación 2: -7y + 3z = -9
-7y + 3(10/7) = -9
-7y + 30/7 = -9
-49y + 30 = -63
-49y = -93
y = -93 / -49
y = 93/49

Ecuación 1: 2x + 3y + z = 7
2x + 3(93/49) + 10/7 = 7
2x + 279/49 + 10/7 = 7
2x + 279/49 + 70/49 = 7
2x + 349/49 = 7
2x = 7 - 349/49
2x = 343/49 - 349/49
2x = -6/49
x = -6/49 / 2
x = -6/98
x = -3/49

Por lo tanto, la solución para el sistema de ecuaciones es x = -3/49, y = 93/49 y z = 10/7.

Método de sustitución

Otro método para resolver sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es el método de sustitución. Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en las otras ecuaciones del sistema. Luego, resolvemos las ecuaciones resultantes para encontrar los valores de las incógnitas.

Paso 1: Despejar una incógnita en una de las ecuaciones

Para aplicar el método de sustitución, seleccionamos una de las ecuaciones y despejamos una de las incógnitas en función de las otras dos. Esto nos permitirá sustituir esta expresión en las otras ecuaciones.

Continuando con el ejemplo anterior, despejamos la variable x en la primera ecuación:

Ecuación 1: 2x + 3y + z = 7
2x = 7 - 3y - z
x = (7 - 3y - z) / 2

Paso 2: Sustituir la expresión encontrada en las otras ecuaciones del sistema

Una vez que tenemos la expresión despejada, la sustituimos en las otras ecuaciones del sistema. Esto nos dará un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Continuando con el ejemplo anterior, sustituimos la expresión de x en las otras dos ecuaciones:

Ecuación 2: (7 - 3y - z) / 2 - 2y + 4z = -1
Ecuación 3: 3(7 - 3y - z) / 2 + y - 2z = 3

Paso 3: Resolver las ecuaciones resultantes para encontrar los valores de las incógnitas

Una vez que tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo resolvemos utilizando métodos como el de eliminación o sustitución. Esto nos dará los valores de las incógnitas restantes.

Continuando con el ejemplo anterior, resolvemos el sistema de dos ecuaciones:

Ecuación 2: (7 - 3y - z) / 2 - 2y + 4z = -1
(7 - 3y - z) - 4y + 8z = -2
7 - 3y - z - 4y + 8z = -2
7 - 7y + 7z = -2
-7y + 7z = -9

Ecuación 3: 3(7 - 3y - z) / 2 + y - 2z = 3
21 - 9y - 3z + 2y - 4z = 6
21 - 7y - 7z = 6
-7y - 7z = -15

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones, obtenemos y = 93/49 y z = 10/7. Sustituyendo estos valores en la expresión de x, encontramos x = -3/49.

Por lo tanto, la solución para el sistema de ecuaciones es x = -3/49, y = 93/49 y z = 10/7.

Ejemplos de sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Método de reducción

El método de reducción es otro método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales en ambas ecuaciones. Luego, se resta una ecuación de la otra para eliminar una de las incógnitas. Finalmente, se resuelven las ecuaciones resultantes para obtener los valores de las incógnitas restantes.

Paso 1: Multiplicar una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales en ambas ecuaciones

Para aplicar el método de reducción, multiplicamos una o ambas ecuaciones por un escalar para igualar los coeficientes de una de las incógnitas. Esto nos permitirá cancelar una de las incógnitas al restar una ecuación de la otra.

Continuando con el ejemplo anterior, multiplicamos la segunda ecuación por 2 para que los coeficientes de y sean iguales:

Ecuación 2: 2x - 4y + 8z = -2

Paso 2: Restar una ecuación de la otra para eliminar una de las incógnitas

Una vez que tenemos los coeficientes iguales, restamos una ecuación de la otra para eliminar una de las incógnitas. Esto nos dará una ecuación con una sola incógnita.

Continuando con el ejemplo anterior, restamos la primera ecuación de la segunda:

2x - 4y + 8z - (2x + 3y + z) = -2 - 7
2x - 4y + 8z - 2x - 3y - z = -9
-7y + 7z = -9

Paso 3: Resolver las ecuaciones resultantes para encontrar los valores de las incógnitas

Una vez que tenemos la ecuación resultante con una sola incógnita, la resolvemos para encontrar el valor de esa incógnita. Luego, sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de otra incógnita. Finalmente, sustituimos ambos valores en la última ecuación para encontrar el valor de la tercera incógnita.

Continuando con el ejemplo anterior, resolvemos la ecuación -7y + 7z = -9 para encontrar el valor de y:

-7y + 7z = -9
-7y = -9 - 7z
y = (-9 - 7z) / -7

Sustituyendo este valor en la primera ecuación, encontramos el valor de x:

2x + 3((-9 - 7z) / -7) + z = 7
2x - 27/7 - 21z/7 + z = 7
2x - 21z/7 + z = 7 + 27/7
2x - 21z/7 + 7z/7 = 49/7 + 27/7
2x - 14z/7 = 76/7
2x - 2z = 76/7
x - z = 38/7
x = 38/7 + z

Finalmente, sustituimos los valores de x y y en la tercera ecuación para encontrar el valor de z:

3((38/7 + z) - 9 - 7z) / -7 + ((-9 - 7z) / -7) - 2z = 3
3(-57/7 - 20z/7) / -7 - 9/7 - 7z/7 - 2z = 3
-171/7 - 60z/7 = -21/7 + 7z + 6z/7
-171 - 60z = -21 + 49z + 6z
-60z - 49z - 6z = -21 + 171
-115z = 150
z = 150 / -115
z = -30 / 23

Por lo tanto, la solución para el sistema de ecuaciones es x = 38/7, y = (-9 - 7(-30/23)) / -7 y z = -30/23.

Ejercicios resueltos

A continuación, te presentamos algunos ejercicios resueltos de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas para practicar los métodos de resolución explicados anteriormente.

Ejercicio 1

Ecuación 1: 3x - 2y + z = 4
Ecuación 2: 2x + y - 3z

Descubre los diferentes tipos de sistemas y su funcionamiento