Sistema indeterminado: Ejercicios resueltos para su compatibilidad

¿Qué es un sistema compatible indeterminado?

Un sistema de ecuaciones es considerado compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Esto significa que existen múltiples valores para las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones del sistema. En otras palabras, no se puede determinar un único conjunto de soluciones.

Ejercicios resueltos de sistemas compatibles indeterminados

A continuación, presentaremos algunos ejercicios resueltos que te ayudarán a comprender mejor cómo resolver sistemas compatibles indeterminados.

Ejercicio 1: Resolución de un sistema compatible indeterminado

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

```
2x + 3y = 10
4x + 6y = 20
```

Para resolver este sistema, podemos multiplicar la primera ecuación por 2 y obtener:

```
4x + 6y = 20
4x + 6y = 20
```

Observamos que ambas ecuaciones son equivalentes, lo que indica que tienen infinitas soluciones. En este caso, podemos expresar las soluciones en términos de una variable, por ejemplo:

```
x = t
y = (10 - 2t) / 3
```

Donde "t" puede tomar cualquier valor real.

Ejercicio 2: Cálculo de variables en un sistema compatible indeterminado

Ahora consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

```
3x + 2y = 8
6x + 4y = 16
```

Podemos observar que la segunda ecuación es el doble de la primera ecuación. Esto indica que ambas ecuaciones son equivalentes y, por lo tanto, tienen infinitas soluciones. Podemos expresar las soluciones en términos de una variable, por ejemplo:

```
x = t
y = (8 - 3t) / 2
```

Donde "t" puede tomar cualquier valor real.

Ejercicio 3: Aplicación de la regla de Cramer en un sistema compatible indeterminado

La regla de Cramer es un método que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Veamos un ejemplo de su aplicación en un sistema compatible indeterminado.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

```
2x + 3y = 7
4x + 6y = 14
```

Para aplicar la regla de Cramer, primero calculamos el determinante del sistema:

Resuelve sistema de ecuaciones 2x3 con facilidad y precisión

```
D = |2 3|
|4 6|
= (2 * 6) - (3 * 4)
= 12 - 12
= 0
```

Si el determinante es igual a cero, significa que el sistema es compatible indeterminado. En este caso, no podemos utilizar la regla de Cramer para encontrar las soluciones únicas.

Métodos para resolver sistemas compatibles indeterminados

Existen varios métodos que se pueden utilizar para resolver sistemas compatibles indeterminados. A continuación, mencionaremos algunos de ellos:

Método de sustitución

Este método consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. Luego, se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante.

Método de igualación

En este método, se igualan las dos ecuaciones y se despeja una variable. Luego, se sustituye ese valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

Método de reducción

En el método de reducción, se multiplican las ecuaciones por constantes para igualar los coeficientes de una variable. Luego, se suman o restan las ecuaciones para eliminar una variable y resolver el sistema.

Método de la regla de Cramer

La regla de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, este método solo es aplicable cuando el determinante del sistema es distinto de cero.

Ejemplos prácticos de sistemas compatibles indeterminados

A continuación, presentaremos algunos ejemplos prácticos de sistemas compatibles indeterminados para que puedas ver cómo se aplican los métodos mencionados anteriormente.

Ejemplo 1: Resolución de un sistema compatible indeterminado con 2 ecuaciones y 2 incógnitas

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

```
2x + 3y = 5
4x + 6y = 10
```

Utilizando el método de reducción, podemos multiplicar la primera ecuación por 2 y obtener:

```
4x + 6y = 10
4x + 6y = 10
```

Como ambas ecuaciones son equivalentes, el sistema tiene infinitas soluciones. Podemos expresar las soluciones en términos de una variable, por ejemplo:

```
x = t
y = (5 - 2t) / 3
```

Donde "t" puede tomar cualquier valor real.

Ejemplo 2: Cálculo de variables en un sistema compatible indeterminado con 3 ecuaciones y 3 incógnitas

Ahora consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

```
3x + 2y + z = 7
6x + 4y + 2z = 14
9x + 6y + 3z = 21
```

Podemos observar que la tercera ecuación es el triple de la primera ecuación. Esto indica que todas las ecuaciones son equivalentes y, por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Podemos expresar las soluciones en términos de dos variables, por ejemplo:

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```
x = s
y = (7 - 3s) / 2
z = (7 - 3s) / 2
```

Donde "s" puede tomar cualquier valor real.

Ejemplo 3: Aplicación de la regla de Cramer en un sistema compatible indeterminado con 4 ecuaciones y 4 incógnitas

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

```
2x + 3y + z + w = 10
4x + 6y + 2z + 2w = 20
6x + 9y + 3z + 3w = 30
8x + 12y + 4z + 4w = 40
```

Al calcular el determinante del sistema, obtenemos:

```
D = |2 3 1 1|
|4 6 2 2|
|6 9 3 3|
|8 12 4 4|
= 0
```

El determinante es igual a cero, lo que indica que el sistema es compatible indeterminado y no podemos utilizar la regla de Cramer para encontrar soluciones únicas.

Conclusiones

Un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones. Esto ocurre cuando las ecuaciones del sistema son equivalentes o cuando el determinante del sistema es igual a cero. Para resolver este tipo de sistemas, se pueden utilizar métodos como la sustitución, igualación, reducción o la regla de Cramer, dependiendo de las características del sistema.

Es importante destacar que la resolución de sistemas compatibles indeterminados puede resultar de gran utilidad en diversas áreas, como la física, la economía y la ingeniería, donde se requiere encontrar múltiples soluciones para un conjunto de ecuaciones.

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Preguntas frecuentes

1. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones sea compatible indeterminado?

Un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones, lo que significa que existen múltiples conjuntos de valores que cumplen todas las ecuaciones del sistema.

2. ¿Cuáles son los métodos para resolver sistemas compatibles indeterminados?

Algunos métodos para resolver sistemas compatibles indeterminados son la sustitución, igualación, reducción y la regla de Cramer.

3. ¿Cuándo se aplica la regla de Cramer en un sistema compatible indeterminado?

La regla de Cramer se aplica en sistemas de ecuaciones lineales cuando el determinante del sistema es distinto de cero.

4. ¿En qué áreas se utiliza la resolución de sistemas compatibles indeterminados?

La resolución de sistemas compatibles indeterminados es útil en áreas como la física, la economía y la ingeniería, donde se requiere encontrar múltiples soluciones para un conjunto de ecuaciones.

5. ¿Dónde puedo encontrar más ejercicios resueltos de sistemas compatibles indeterminados?

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